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如何实现球面上的均布排列问题-正多面体构成探索

教程分类:优化设计  来源链接: 无维论坛(www.5dcad.cn/bbs)   作者:IceFai [IceFai专栏]   日期:2008-06-03   浏览:  


在我们的工作中,总会时不时遇到一谢球面上均布排列或等分的问题,论坛上也时不时冒出一些如何在球面均匀阵列点的问题,其实这些所有的问题归根到底都是如何构建正多面体的问题,我们只有了解并理解正多面体的构成情况,才能对在球面上实现均匀排列和相关的问题做到有理可依,而不至于迷失了方向,花费了大量的功夫去试图完成完全不可能的事---最常见的莫过于是试图在球面上均布正六边形!!:lol

所以,在这里,我还是有必要老生重谈,再来说说正多面体的构成和创建方式。

在本文中所讨论的正多面体其实从严格来说不完全是正多面体,只能说是全部有正多边形所组成的多面体,这其中最典型也是最常见的当属足球(12个正五边形和20个正六边形)所组成;本文下面所讨论的正多面体都是特指这类型的多面体。

1.有多少种组合的可能?
在我们解决这个问题之前,我们首先需要借助一些知识或者是前人的经验。其中最重要的分析依据便是欧拉公式,所谓的欧拉公式是揭示了简单多面体的顶点数V、面数F和棱数E的内在关系:
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代码:
V+F-E=2
也就是说,对于一个简单的凸多面体,它的顶点、面数和棱数必定符合上面的这条欧拉公式。

但是光利用这条公式,我们的分析范围还是太广,因为正多边形的组成是无限的,为了缩小分析的范围,我们还需要借助另一条定律,那就是多面体的同一个顶点处的多面角之和一定小于360度,这个我们可以通过一张图片来说明




图片中,我们看一个正四面体的情况,随便取一个顶点,然后过顶作一个平面,然后我们把共用该顶点的所有边投影到平面上,显然投影边的长度都比原来的边长度短,而和平面平行的第三边保持不变,我们可以推出投影后产生的夹角B1要比原来的夹角A1角度要大。同样的道理可以推知其它多面角也是一样,而所有的投影边构成的角刚好是360度,由此推得原来的同一顶点的多面角之和一定要小于360度。
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有了这两条定律的辅助,我们的分析范围就小很多了,再来考虑我们的正多边形的情况,显然最少边的正多边形就是正三角形了,而它的其中一个角的值为60度,根据我们上面的定律可以得知,对于我们要求的正多面体的其中一个顶点,最多有5个正多边形。下面我们就来对不同的边数进行逐一分析:
对于全部有同一正多边形组成的情况,因为对于一个顶点而言,至少需要3个相邻的正多边形,所以正多边形的其中一个顶角不能大于360/3=120度,这样符合要求的便只有正三角形、正方形和正五边形的组合情况了。我们假设正多边形的边数为n,每个顶点公用的多边形为k。那么对于每条边,它都参与了两个面的构成,而对于每个面,都需要n条边来构成,所以对于边和面有这样的关系:E=n*F/2;考虑顶点,每个顶点都参与了k个面的构成,而每个面需要n个顶点来构成,所以顶点和面的关系是:V=n*F/k。
欧拉公式:V+F-E=2  ==》n*F/k+F-n*F/2=2  ==》(2*n+2*k-n*k)F=4K
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代码:
计算公式:(2*n+2*k-n*k)F=4K
i)        全部由正三角形组成
可知n=3,下面我们就考虑不同的k对应的情况:
k=3(6+6-9)F=12F=4正四面体




k=4(6+8-12)*F=16F=8正八面体(每个顶点有4个三角形)




k=5(6+10-15)*F=20F=20正二十面体(每个顶点有5个三角形)




ii)        全部由正四边形组成
可知n=4,因为它的一个顶角是90度,所以K只能取3。
k=3(8+6-12)*F=12F=6正方体

iii)        全部由正五边形组成
可知n=5,因为它的一个顶角是108度,所以K只能取3。
k=3(10+6-15)*F=12F=12正十二面体



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对于不是全部有相同的正多边形组成的情况,分析要稍复杂些,这里我们举足球作为例子。
足球的多面体组成
足球是由正五边形和正六边形组成的,很显然对于一个顶点来说,它只可能有三个正多边形,组合的情况只有1个五边2个六边和2个五边1个六边两个可能,而再深入思考,便可知道2个五边1个六边的情况是不可能的(因为它的边数是奇数,不能完成隔个排列5边)。所以便剩下了1个五边两个6边的情况了;对于一个五边形来说,它的边上有5个六边形,而对于一个六边形来说,它的边上有3个五边形,所以五边形和六边形的个数比是3:5,假设有m个5边形,那么就有5*m/3个六边形。顶点数:(m*5+5*m*6/3)/3=5*m;边数:(m*5+5*m*6/3)/2=7.5*m;面数:m+5*m/3=8*m/3。
代入欧拉公式5*m+8*m/3-7.5*m=2m=12,所以有12个五边形,12*5/3=20个六边形,60个顶点(这也是著名的C60分子的组成和来历)。





对于其它的多边形的组合情况,也是一样的分析和推算方法,有兴趣的就自己推算了

2.        如何构建正多面体?
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说到这里,我们不妨回头看我们的高尔夫球的均匀分布问题,你会发现那个实际就是一个正多面体的问题,仔细想一想,如果我们能够在由三角形组成的正20面体的其中一个三角形完成窝位的排布,是否就可以表明我们也能实现在整个球的排布呢?当然你使用5边形组成的正12面体或者足球的组成方式来排布也可以,但是相对于正三角形,它们的效果就稍差一点了。

提示就到这里,大家继续努力~:lol --http://www.5dcad.cn/bbs/thread-18491-1-2.html

顺便,不妨想想全部由三角形组成的正20面体如何创建:lol
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